Algèbre linéaire Exemples

$(4 + 3 i) - (5 - 7 i)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 + 3 i - 1 \cdot 5 - (- 7 i)$

Étape 1.2

Multipliez

$- 1$ par

$5$ .

$4 + 3 i - 5 - (- 7 i)$

Étape 1.3

Multipliez

$- 7$ par

$- 1$ .

$4 + 3 i - 5 + 7 i$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Soustrayez

$5$ de

$4$ .

$- 1 + 3 i + 7 i$

Étape 2.2

Additionnez

$3 i$ et

$7 i$ .

$- 1 + 10 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

$| z |$ est le module et

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

$z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de

$a = - 1$ et

$b = 10$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez

$| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez

$10$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{100 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{100 + 1}$

Étape 6.3

Additionnez

$100$ et

$1$ .

$| z | = \sqrt{101}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{10}{- 1})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de

$\frac{10}{- 1}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est

$1.67046497$ .

$θ = 1.67046497$

Étape 9

Remplacez les valeurs de

$θ = 1.67046497$ et

$| z | = \sqrt{101}$ .

$\sqrt{101} (\cos (1.67046497) + i \sin (1.67046497))$